مفتاح الإجابة
الإجابات الصحيحة مع تفسير مختصر وواضح لكل سؤال
السؤالالإجابةالتفسير / الإجابة النموذجية
١أ - {x | x ≥ 1, x ∈ W}المجموعة المعطاة تبدأ من 1 وتضم جميع الأعداد الكلية بعده؛ لذا الوصف الصحيح هو x ≥ 1 مع x ∈ W.
٢ب - [−3, ∞)المتباينة a ≥ −3 تشمل −3 وجميع القيم الأكبر منه؛ لذلك نستخدم قوسًا مغلقًا عند −3 ومفتوحًا عند اللانهاية.
٣ب - (−∞, −2) ∪ (9, ∞)الشرط x < −2 أو x > 9 يعطي فترتين مفتوحتين لأن الحدين غير مشمولين.
٤أ - تمثل دالةلكل قيمة استهلاك شهرية x قيمة مبلغ مستحق واحدة y، ولذلك تحقق العلاقة تعريف الدالة.
٥أ - 4x² − 8x − 4بالتعويض: f(x − 1) = 4(x − 1)² − 8 = 4x² − 8x − 4.
٦أ - x ≠ −3, −4المقام x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)؛ لذلك تُستبعد القيمتان −3 و−4 من المجال.
٧ب - −12f(3) = 9 − 15 = −6 وf(2) = 4 − 10 = −6، ومن ثم المجموع −12.
٨د - ℝلأن x² + 4 > 0 لكل عدد حقيقي، فلا يصبح المقام صفرًا، وبالتالي المجال جميع الأعداد الحقيقية.
٩ج - a ≤ −2 أو a ≥ 2يشترط للجذر أن يكون a² − 4 ≥ 0، أي (a − 2)(a + 2) ≥ 0؛ فتكون القيم خارج الفترة [−2, 2] مع شمول الطرفين.
١٠أ - y = x²لكل قيمة x في العلاقة y = x² قيمة واحدة فقط لـy. أما العلاقات الأخرى فتعطي لبعض قيم x أكثر من قيمة y.
١
مفتاح الإجابة
الإجابات الصحيحة مع تفسير مختصر وواضح لكل سؤال
السؤالالإجابةالتفسير / الإجابة النموذجية
١١ج - 60v(15) = 4(15) = 60، والقيمة 15 تقع ضمن الفترة المحددة.
١٢ب - 24500T(10000) = 500 + 2.4(10000) = 500 + 24000 = 24500.
١٣أ - 23لأن −5 < 3، نستخدم القاعدة المعطاة: f(−5) = −4(−5) + 3 = 23.
١٤ب - 27/121f(12) = (2(12) + 3)/(12² − 2(12) + 1) = 27/121.
١٥ب - {x | −1 ≤ x ≤ 5, x ∈ ℝ}الصفة المميزة يجب أن تحافظ على الحدين المشمولين في المتباينة المركبة −1 ≤ x ≤ 5.
١٦أ - 30v(245) = −6(245) + 1500 = −1470 + 1500 = 30.
١٧ب - (1, −1)بالتعويض عن x = 1: f(1) = 2(1) − 3 = −1؛ إذن النقطة (1, −1) تقع على التمثيل البياني.
١٨ب - x > −3لأن الجذر موجود في المقام، فيجب أن يكون 2x + 6 > 0 حتى يكون الجذر معرفًا وغير صفري؛ ومنه x > −3.
١٩ب - 3f(2a − 1) = 3(2a − 1) − 2 = 6a − 5. وبما أنها تساوي 13، فإن 6a = 18 وبالتالي a = 3.
٢٠أ - 8f(2) = 2(2) + 4 = 8.
٢
مفتاح الإجابة
الإجابات الصحيحة مع تفسير مختصر وواضح لكل سؤال
السؤالالإجابةالتفسير / الإجابة النموذجية
٢١تمثيل بيانيقطع مكافئ مفتوح لأعلى، رأسه (0, −4) ومحور تماثله x = 0. يقطع محور x عند (−2, 0) و(2, 0). المجال ℝ والمدى y ≥ −4.
٢٢تمثيل بيانيمنحنى على شكل V مفتوح لأعلى، رأسه (0, −2) ومحور تماثله x = 0. يمر مثلًا بالنقطتين (−2, 0) و(2, 0).
٢٣أ - x ≥ −3يشترط x + 3 ≥ 0 حتى يكون الجذر معرفًا، ومنه x ≥ −3.
٢٤أ - y ≥ 1لأن x² ≥ 0 دائمًا، فإن أصغر قيمة لـx² + 1 هي 1 عند x = 0.
٢٥تمثيل بيانيقطع مكافئ مفتوح لأعلى، رأسه (1, 0) ومحور تماثله x = 1، ويمر مثلًا بـ(0, 1) و(2, 1). يتناقص على (−∞, 1) ويتزايد على (1, ∞).
٢٦تمثيل بيانيf(x) = x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)، لذا الأصفار x = −3 وx = 1. الرأس (−1, −4) ومحور التماثل x = −1، والمقطع الصادي (0, −3).
٢٧أ - 4المقطع الصادي ينتج عند x = 0: f(0) = 4.
٢٨أ - x = 2, 3x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)، لذلك الأصفار x = 2 وx = 3.
٢٩تمثيل بيانيf(x) = x(x − 3)؛ لذا المقطعان السينيان (0, 0) و(3, 0)، والمقطع الصادي (0, 0). الرأس (1.5, −2.25) ومحور التماثل x = 1.5، والقطع المكافئ مفتوح لأعلى.
٣٠أ - 5عند x = 0: f(0) = 5، إذن المقطع الصادي قيمته 5.
٣
مفتاح الإجابة
الإجابات الصحيحة مع تفسير مختصر وواضح لكل سؤال
السؤالالإجابةالتفسير / الإجابة النموذجية
٣١أ - زوجيةf(−x) = (−x)² + 4 = x² + 4 = f(x)، لذا الدالة زوجية.
٣٢أ - فرديةf(−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −f(x)، لذا الدالة فردية.
٣٣أ - ليست زوجية ولا فرديةf(−x) = x² − x، وهي لا تساوي f(x) ولا −f(x).
٣٤تمثيل بيانيالمنحنى على شكل V ورأسه (0, 0)، ويمر بـ(−1, 1) و(1, 1). لأن f(−x) = |−x| = |x| = f(x) فهو متماثل حول المحور الصادي.
٣٥تمثيل بيانيالمنحنى التكعيبي يمر بـ(−1, −1) و(0, 0) و(1, 1). لأن f(−x) = −x³ = −f(x) فهو متماثل حول نقطة الأصل.
٣٦أ - f(x) = cos(x)دالة جيب التمام زوجية لأن cos(−x) = cos(x).
٣٧أ - f(x) = sin(x)دالة الجيب فردية لأن sin(−x) = −sin(x).
٣٨أ - ℝ − {2}يجب ألا يساوي المقام صفرًا؛ x − 2 ≠ 0، ومنه x ≠ 2.
٣٩أ - y ≥ 0الجذر التربيعي الرئيسي لا يعطي قيمًا سالبة؛ لذلك مدى √x هو [0, ∞).
٤٠تمثيل بيانيقطع مكافئ مفتوح لأعلى، رأسه (0, −1) ومحور تماثله x = 0. يقطع محور x عند (−1, 0) و(1, 0). المجال ℝ، والمدى y ≥ −1، والأصفار x = −1, 1.
٤